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正四面体A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得,设f(λ)=αλ+βλ,...

正四面体A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得manfen5.com 满分网,设f(λ)=αλλ,αλ与βλ分别表示EF与AC,BD所成的角,则( )
A.f(λ)是(0,+∞)上的增函数
B.f(λ)是(0,+∞)上的减函数
C.f(λ)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减
D.f(λ)是(0,+∞)上的常数函数
先证明正四面体的对棱AC与BD垂直,此结论由线面垂直得来,再由异面直线所成的角的定义,在同一平面内找到αλ与βλ,最后在三角形中发现f(λ)=αλ+βλ=,从而做出正确选择 【解析】 如图,取线段BC上一点H,使,取BD中点O,连接AO,CO ∵正四面体A-BCD中每个面均为正三角形,∴BD⊥AO,BD⊥CO,∵AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC,∵AC⊂平面AOC∴BD⊥AC ∵,,∴EH∥AC,∵,,∴HF∥BD ∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角,∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角,∴∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角, ∴αλ=∠HEF,βλ=∠HFE,∠EHF=90° ∴f(λ)=αλ+βλ=,即f(λ)是(0,+∞)上的常数函数 故选D
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