Question

正四面体A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，设f（λ）=α_λ+β_λ，α_λ与β_λ分别表示EF与AC，BD所成的角，则（ ）
A．f（λ）是（0，+∞）上的增函数
B．f（λ）是（0，+∞）上的减函数
C．f（λ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减
D．f（λ）是（0，+∞）上的常数函数

Answer

先证明正四面体的对棱AC与BD垂直，此结论由线面垂直得来，再由异面直线所成的角的定义，在同一平面内找到αλ与βλ，最后在三角形中发现f（λ）=αλ+βλ=，从而做出正确选择
【解析】
如图，取线段BC上一点H，使，取BD中点O，连接AO，CO
∵正四面体A-BCD中每个面均为正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC∴BD⊥AC
∵，，∴EH∥AC，∵，，∴HF∥BD
∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角，∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角，∴∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角，
∴αλ=∠HEF，βλ=∠HFE，∠EHF=90°
∴f（λ）=αλ+βλ=，即f（λ）是（0，+∞）上的常数函数
故选D