Question

定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，现给定下列几个命题：
①f（x）不可能是奇函数； ②f（x）≥-1；
③f（x）不可能是常数函数；④若f（x）=a（a＞1），则不存在常数M，使得f（x）≤M成立．
在上述命题中错误命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

本题是一个多选题，对抽象表达式f（2x）=2f2（x）-1表达的函数性质进行推断，应该注意函数f（x）=cosx符合此表达式，易判断①②③的真假，至于选项④，显然不是函数f（x）=cosx的性质，应为真命题
【解析】
∵f（0）=2f2（0）-1，∴f（0）≠0，故f（x）不可能是R上的奇函数，①正确
∵f（x）=2f2（）-1≥-1，故②正确
若f（x）=m，则m=2m2-1即2m2-m-1=0，m=1或m=-，故f（x）可能是常数函数y=1或y=-，故③是假命题
若f（x）=a（a＞1），则此函数没有上界，即不存在常数M，使得f（x）≤M成立，故④为真命题
故选A