Question

如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求证：AB⊥BD；
（2）求四面体ABCD的表面积．

Answer

（1）由题意可得：CD⊥平面ABC，再根据面面垂直的判断定理可得：平面ABC⊥平面BCD，进而得到线面垂直得到线线垂直．
（2）此题分情况讨论：当AC⊥CD时，则AB⊥BD，进而得到四面体ABCD的表面积．当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，当AD⊥AC时，再讨论AB与AD不能垂直，并且BD与AD不能垂直，进而得到AB⊥BD得到答案．
【解析】
（1）因为AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因为AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）当AC⊥CD时，则AB⊥BD，
因为AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=，AC=，
所以四面体ABCD的表面积S=．
当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，否则由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
当AD⊥AC时，AB与AD不能垂直，否则AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因为BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，这与AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，从而可得：AD2=a2-b2-c2，…①
由AD⊥AC得，AD2=c2-b2-a2…②
由①②可得：a=c，所以AD2=-b2＜0矛盾．
所以AD⊥CD，从而得到AB⊥AD，
当AD⊥CD时，AD2=a2+b2-c2，
当AB⊥AD时，AD2=b2+c2-a2，
所以a=c，AD=b，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，所以舍去．
所以其表面积为S=．…12（分）