Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x，
（1）试确定f（x）的单调性；
（2）数列{a_n}满足a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，且，S_n表示{a_n}的前n项之和
①求数列{a_n}的通项；   
②求证：S_n＜n+1-ln（n+2）．

Answer

（1）由，通过导数的性质求出f（x）的单调区间．
（2）①由anan+1-2an+1+1=0，知，由此能够求出数列{an}的通项公式．
②当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，所以x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．所以对于k∈N+，=ln（k+2）-ln（k+1），再由，能够证明Sn＜n+1-ln（n+2）．
【解析】
（1）∵，
由，得-a＜x≤1-a，
由，得x＞1-a，
故f（x）在（-a，1-a]上是单调增函数，在[1-a，+∞）上是单调减函数．
（2）①∵anan+1-2an+1+1=0，
∴，
∴，
∴是公差为1的等差数列，且首项为=2，
故=n+1，
∴．
②由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，
∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
∴对于k∈N+，=ln（k+2）-ln（k+1），
∵，
∴Sn=a1+a2+…+an
＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））
=n+ln2-ln（n+2）
＜n+1-ln（n+2）．