Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．

Answer

（1）欲证A1B⊥平面CDE，只需证明A1B垂直平面CDE内两条相交直线即可，而A1B⊥DE，CD⊥A1B，CD∩DE=D，CD，DE⊂面CDE，满足线面垂直的判定定理，结论得证；
（2）由题意，∠ACB=90°，以C 为坐标原点，CA，CB，CC1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而可求平面的法向量，从而利用数量积公式可求．
证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，CD⊂面ABC
∴AA1⊥CD
∵AC=BC，点D是AB的中点
∴AB⊥CD
∵AA1∩AB=A，AA1，AB⊂面A1ABB1∴CD⊥面A1ABB1
∵A1B⊂面A1ABB1
∴CD⊥A1B
∵正方形A1ABB1中，DE∥AB1，A1B⊥AB1
∴A1B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE⊂面CDE
∴A1B⊥面CDE
（2）由题意，∠ACB=90°
以C 为坐标原点，CA，CB，CC1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
C（0.0，0），A1（2，0，2），E（0，2，），D（1，1，0）
∴
∴平面的法向量分别为（2，1，-），（2，-2，-），
∴
∴二面角D-CE-A1的大小