Question

已知函数，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=-f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，问：是否存在常数k，使得对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．若存在，求出常数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由函数y=，得，根据题意和反函数定义可得：an2-an-12=4，a1=1，由此能够求出，n∈N*．
（2）由，知==，b1+b2+…+bn=．对任意的正整数n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立，所以对任意的正整数n都有≤k•n成立．整理，得：对任意的正整数n都有16nk2+8k-4≥0成立，由此能求出k的取值范围．
【解析】
（1）∵函数y=，
∴y2=x2-4，y＞0，
，x，y互换，得，
根据题意和反函数定义可得：an2-an-12=4，a1=1，
∴an2=1+4（n-1）=4n-3，n∈N*，
∴，n∈N*．
（2）∵，n∈N*，
∴==，
∴b1+b2+…+bn=）]
=．
∵对任意的正整数n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立，
∴对任意的正整数n都有≤k•n成立．
整理，得：对任意的正整数n都有16nk2+8k-4≥0成立，
∵对任意的正整数n都有16nk2≥0，
∴8k-4≥0，k时，对任意的正整数n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立．
故存在常数k，k的取值范围[+∞）．