Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若，求λ₁+λ₂的值．

Answer

（1）由题意可知所求的椭圆的焦点在x轴上故可设所求的椭圆方程为然后利用它的一条准线为，离心率为再结合a2=b2+c2即可求出a，b，c则问题即可求解．
（2）根据题意可得直线L的斜率存在故可设直线L的方程为y=k（x-2）则M（0，-2k）再设A（x1，y1），B（x2，y2）根据向量的坐标计算可得，，，然后再结合条件可求出点A，B的坐标而A，B两点都在椭圆上则代入可得关于λ1，λ2的式子然后分析求解即可．
【解析】
（1）由题意可设所求的椭圆方程为
∵它的一条准线为，离心率为
∴
∴a=，b=1，c=2
∴椭圆C的方程为
（2）经分析知过椭圆C的右焦点F的直线l的斜率存在设为k则直线L的方程为y=k（x-2）
设A（x1，y1），B（x2，y2）而F（2，0），M（0，-2k）
∴，，，
又∵
∴，
∴，
∵A，B两点都在椭圆上
∴λ12+10λ1+5-20k2=0且λ22+10λ2+5-20k2=0
∴λ1，λ2为方程x2+10x+5-20k2=0的两根
∴λ1+λ2=-10