Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，∠BCE=60°．
（1）证明：平面BAE⊥平面DAE；
（2）点P为线段AB上一点，求直线PE与平面DCE所成角的取值范围．

Answer

（1）取BE的中点O，连OC，OF，DF，可利用条件得OC∥FD，再利用条件证得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（2）以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz，设出P点的坐标，分别求出直线PE的方向向量与平面DCE的法向量，代入向量夹角公式，求出直线PE与平面DCE所成角正弦值的取值范围，进而可以确定直线PE与平面DCE所成角的取值范围．
【解析】
（1）证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD与BA平行且相等，
∴OF与CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（2）以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则已知条件有：C（2，0，0），D（2，0，2），E（0，-2，0）
平面DCE的一个法向量记为=（x，y，z）
则，即
∴=（1，，0）…9分
令直线PE与平面DCE所成角为θ
设P（0，2，Z），（0≤Z≤4）
则sinθ==…11分
∵0≤Z≤4
∴≤
∴直线PE与平面DCE所成角的范围为[arcsin，]…12分