Question

已知函数f （x）=．
（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer

（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明，先去绝对值号对函数表达式化简，根据其形式判断出函数的性质，再进行证明
（2）方程f （x）=kx2有四个不同的实数解，代入函数表达式，进行探究，由于方程带有绝对值，故需要分类去绝对值，在每一类中找出满足方程有两解的参数的值，合并既得．
【解析】
（1）函数f （x）在区间（0，+∞）上，证明如下：
∵f（x）=，
∴当x＞0时，f（x）=
∵上是减函数
∴f （x）在区间（0，+∞）上是增函数．（4分）
（2）原方程即：=kx2①
①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．（5分）
②当x＜0且x≠-2时方程①有解，则=kx2即kx2+2kx+1=0
当k=0时，方程kx2+2kx+1=0无解；
当k≠0时，△=4k2-4k≥0即k＜0或k≥1时，方程kx2+2kx+1=0有解．
设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1，x2则x1+x2=-2，x1x2=．
当k＞1时，方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根；
当k=1时，方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx2+2kx+1=0有一个负根（8分）
③当x＞0时，方程①有解，则=kx2，kx2+2kx-1=0
当k=0时，方程kx2+2kx-1=0无解；
当k≠0时，，△=4k2+4k≥0即k＞0或k≤-1时，方程kx2+2kx-1=0有解．
设方程kx2+2kx-1=0的两个根分别是x3，x4
∴x3+x4=-2，x3x4=-
∴当k＞0时，方程kx2+2kx-1=0有一个正根，
当k≤-1时，方程kx2+2kx+1=0没有正根．（11分）．
综上可得，当k∈（1，+∞）时，方程f （x）=kx2有四个不同的实数解．（13分）．