Question

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P（t）（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格Q（t）（单位：元/千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出P（t），Q（t）关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线 围成的平面区域为M，动点P（x，y）在M内（包括边界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），将动点P（x，y）所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x-3y≤3类比为），试列出P（x，y）所满足的条件，并求出相应的最大值．

Answer

（I）根据函数图象写出函数P（t），Q（t）的解析式，则销售额为P（t）•Q（t），然后利用导数研究函数的单调性，从而求出最值；
（II）将目标函数z=x-5y用（x+y）与（x-y）线性表示，然后根据不等式的基本性质进行求解即可；
（III）类比到乘法有已知，求的最大值，然后根据=（xy）A•（）B求出A和B的值，最后根据不等式的基本性质进行求解即可．
【解析】
（Ⅰ）．（3＜t≤6）
＞0在t∈（3，6]恒成立，所以函数在（3，6]上递增
当t=6时，[P（t）•Q（t）]max=28.75．
∴6月份销售额最大为34500元．
（Ⅱ）      ，z=x-5y．
令x-5y=A（x+y）+B（x-y），则，
∴z=x-5y=-2（x+y）+3（x-y）．由-22≤-2（x+y）≤-10，3≤3（x-y）≤21，
∴-19≤z≤11，则（z）max=11．
（Ⅲ）类比到乘法有已知，求的最大值．由=（xy）A•（）B．
∴，1≤（xy）3≤343
∴，则（z）max=．