Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90，AB=4，CD=1，点M在线段PB上，PB与平面ABC成30°角．
（1）找出一点M的具体位置，使CM∥平面PAD（要说明理由）．
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若点M到平面PAD的距离是，问点M位于线段PB上哪一位置？

Answer

（1）在底面四边形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知，由此能推导出四边形CDFM是平行四边形．从而能够找到点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．由PC⊥面ABCD，知∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，由此能够证明平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G，由平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB，知G∈PA=平面PAB∩平面PAD，再由△PMG∽△PBE，能得到此时点M在PB的中点上．
（1）【解析】
在底面四边形ABCD中，
∵∠B=∠C=90°，
∴，
在PA上取点F，使PA=4PF，
连接FM，MC，FD，
在△PAB中，
∵．
∴MF，
∴四边形CDFM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，
即点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．证明：，
∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴，
分别以CD，CB，CP为x，y，z轴，C为原点建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2，0），A（4，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），
设E为PA的中点，则E（2，，1），
，，
，
∴，
（-2）=0，
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：，
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴，
∴此时点M在PB的中点上．