Question

如图，在面积为18的△ABC中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知=27，=54．
（1）建立适当坐标系，求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点D（1，1）的直线l，使l与双曲线交于不同的两点M、N，且=0．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系．设∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n，则⇒m=9；⇒n=2．由此能求出双曲线E的方程．
（2）架设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M、N，并设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1≠x2，由=0知点D是线段MN的中点，所以x1+x2=2，y1+y2=2．由此能够推导出直线l的方程为9x-4y-5=0，但由得45x2-90x+160=0，△＜0，所以不存在满足条件的直线l．
【解析】
（1）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，
线段BC的中垂线为y轴建立如图所示坐标系
设∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n
则⇒
两式平方相加得：m=9
又⇒
两式平方相加得：n=2
设双曲线方程为=1
有双曲线的定义，有2a=||AC|-|AB||=|m-5|=4  即a=2
又2c=n=2⇒c=
∴b2=c2-a2=9
∴双曲线E的方程为=1
（2）架设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M、N，
并设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1≠x2
由=0知点D是线段MN的中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2
由于点M、N都在双曲线E上
∴，将两式相减得：
=0⇒
即直线l的斜率为
此时直线l的方程为y-1=（x-1），即9x-4y-5=0
但由⇒45x2-90x+160=0⇒△＜0
∴不存在满足条件的直线l．