Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n}满足：，，（n∈N^*）．
（1）求证：（n∈N^*）．
（2）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer

（1）①当n=1时，已知成立；②假设n=k（n∈N*）时，不等式成立．要证成立，只需，因为，所以只需．利用导数能够得到当n=k+1时，（n∈N*）也成立．由①，②可知，对于任意n∈N*都成立．
（2）．令g（x）=f（x）-21+x，则g′（x）=f′（x）-21+xln2=（-4x-2x+1）ln4，因为-t2-t+1=0时，，所以，或时，-t2-t+1＜0．由此能够比较an与an+1（n∈N*）的大小．
（1）证明：①当n=1时，已知成立；
②假设n=k（n∈N*）时，不等式成立．
要证成立，只需，
∵，
∴只需．
又f′（x）=-4xln4+2ln2=（1-4x）ln4
当时，，
∴．
又f（0）=2，，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可知，对于任意n∈N*都成立．
（2）【解析】

令g（x）=f（x）-21+x，
则g′（x）=f′（x）-21+xln2=（1-4x）ln4-2xln4=（-4x-2x+1）ln4．
∵-t2-t+1=0时，，
∴，或时，-t2-t+1＜0，
而时，，
∴x时，g′（x）＜0，
即，
∴，
即an+1＞an（n∈N*）．