Question

若（1-x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且a₁：a₃=1：7，则a₅等于    ．

Answer

由二项式定理，可得（1-x）n展开式的通项，进而可得a1=（-1）Cn1，a3=（-1）3Cn3，依题意a1：a3=1：7，代入并化简可得（n-1）（n-2）=42，解可得n的值，则a5=（-1）5C85，计算可得答案．
【解析】
（1-x）n展开式的通项为Tr+1=（-1）rCnrxn，则a1=（-1）Cn1，a3=（-1）3Cn3，a5=（-1）5Cn5，
则a1：a3=（-1）Cn1：（-1）3Cn3=Cn1：Cn3=1：7，
化简可得（n-1）（n-2）=42，
解可得n=8或n=-5（舍）
则a5=（-1）5C85=-56；
故答案为-56．