Question

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的双曲线．若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别是e_M，e_N，e_P．则它们的大小关系是    （用“＜”连接）．

Answer

首先根据双曲线的定义得出c=5，然后数格子，得出||PA|-|PB||=2a=4，||MA|-MB||=2a=8，：||NA|-|NB||=2a=2，进而求出各自的离心率．
【解析】
由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10 即2c=10 
∴c=5
一下是各点的对应表：【指经过该点的圆的半径】
           以A为圆心的圆的半径               以B为圆心的圆的半径
对P：7                                     3
对M：2                                     10
对N：5                                      7
所以由椭圆的第一定义得到：
对过P点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4       a=2        eP==
对过M点的双曲线：||MA|-MB||=2a=|2-10|=8      a=4        eM=
对过N点的双曲线：||NA|-|NB||=2a=|5-7|=2         a=1     eN=5
所以显而易见：eN＞eP＞eM
故答案为：eM＜eP＜eN