Question

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）在DB上是否存在一点M，使ME∥平面ADF？若不存在，请说明理由；若存在，请找出这一点，并证明之．

Answer

（I）由已知中矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，结合线面垂直的性质可得DA⊥圆面O，进而得到DA⊥BF，又由AB为圆O的直径，可得BF⊥AF，根据线面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）过点F作FH⊥AB交AB于H，结合已知，我们可得∠FBA是BF与平面ABCD所成角的平面角，解三角形HBA即可得到BF与平面ABCD所成的角；
（III）取BD中点记作M，设DC的中点为N，连接EO，ON，EN，则M点在ON上，根据ON∥AD，OE∥AF，且AD∩AF=A，得到面NOE∥面ADF，得到存在点M满足条件，此时点在线段中点．．
证明：（I）∵AB为圆O的直径，
∴BF⊥AF，
又∵平面ABCD⊥圆O面，且平面ABCD∩圆O面=AB，DA⊥AB，
∴DA⊥圆面O，BF⊂圆面O，
∴DA⊥BF，DA∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF；
【解析】
（II）过点F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圆面O，FH⊂圆面O，
DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FBA是BF与平面ABCD所成角的平面角，
∵HF=，BH=，
∴∠FBA=30°，
∴BF与平面ABCD所成角是30°．
【解析】
（III）取BD中点记作M，设DC的中点为N，连接EO，ON，EN，
则M点在ON上，
ON∥AD，OE∥AF，
AD∩AF=A
∴面NOE∥面ADF
∵M点在平面NOE上，
∴ME∥平面ADF
此时点M在BD的中点．