已知点P （4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：（a＞0，...

已知点P （4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E： manfen5.com 满分网

（a＞0，b＞0）的一个公共点为A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程．
（2）设D为直线PF₁与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．

（1）把点A代入圆的方程求得m，设F1（-c，0）则直线PF1的方程可表示出来，根据直线PF1与圆C相切利用点到直线的距离求得c，进而把点（3，1）代入椭圆方程，求得a和b的关系式，同时根据a2-b2=c3，求得a和b的另一个关系式，最后联立求得a和b．则椭圆的方程可得．（2）把直线方程与圆的方程联立求得切点坐标，进而根据P的坐标求得线段PD的中点进而根据椭圆的右焦点求得直线MF2的斜率进而求得其垂直平线的斜率，进而判断出线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点判断出在椭圆上存在两个点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形．解（1）∵点A（3，1）在圆C上， ∴（3-m）2+1=5 又m＜3，∴m=1 设F1（-c，0），∵P（4，4） ∴直线PF1的方程为4x-（4+c）y+4c=0 ∵直线PF1与圆C相切 ∴即c=4 由解得 ∴椭圆E的方程是（2）直线PF1的方程为x-2y+4=0 由得切点D（0，2）又∵P（4，4），∴线段PD的中点为M（2，3）又∵椭圆右焦点F2（4，0）又，∴线段PD的垂直平分线的斜率为-2 ∵，∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点即在椭圆上存在两个点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形．

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考点分析：

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