已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）若x1≠x2，且f...

已知函数

（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）由点H（0，h）向f（x）引切线，切点分别为P，Q，当△PQH为正三角形时，求h的值．

（I）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1和x2关于原点O对称，从而求出f（x1+x2）；（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°，求出其斜率k，再结合导数几何意义求出点P（m，n）的坐标，从而得出切线PH的方程，最后令x=0即可．【解析】（I）f（x）是偶函数，证明如下：当x＞0 时，-x＜0，有：f（x）=x2+x-2 f（-x）=（-x）2-（-x）-2=x2+x-2=f（x）；当x＜0 时，-x＞0，有：f（x）=x2-x-2 f（-x）=（-x）2+（-x）-2=x2-x-2=f（x）；当x=0，也有f（-x）=f（x），又函数的定义域为R，关于原点对称，∴f（x）是偶函数；（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1和x2关于原点O对称，从而x1+x2=0，∴f（x1+x2）=-2；（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°， ∴其斜率k=，当x＞0时，f（x）=x2+x-2，∴f′（x）=2x+1，设P（m，n），则2m+1=，且m2+m-2=n，解得：m=，n=-，故切线PH的方程为：y+=（x-），令x=0得y=，即h=．

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