Question

函数f（x）=ax|x-b|在区间[0，+∞）上是增函数的充要条件是    ．

Answer

可将此函数的解析式化为分段函数的形式，由于要研究函数在区间[0，+∞）上的单调性，只需要研究x≥b这一段上的函数的性质，可先由a＞0且b≤0证明函数是增函数，此是证明充分性，再由函数在区间[0，+∞）上是增函数解得a＞0且b≤0，此是证明必要性，再由充要条件的定义得出答案即可
【解析】
f（x）=ax|x-b|=，由函数的解析式知，x=两段上函数图象的对称轴，
当a＞0且b≤0时，函数在[b，+∞）是增函数，故在区间[0，+∞）上是增函数
当函数在区间[0，+∞）上是增函数时，必有a＞0，≤0，即a＞0且b≤0
综上证明知，a＞0且b≤0是函数f（x）=ax|x-b|在区间[0，+∞）上是增函数的充要条件
故答案为：a＞0且b≤0