Question

设f（x）=a^x+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）的定义域为[-2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；
（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．

Answer

（1）将x=0代入f（x）b的值；写出恒成立的不等式，令a-2等于0，求出a的值．
（2）写出g（x）的解析式；利用关于y=x对称的函数互为反函数；求出g（x）的反函数即h（x）．
（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值．
【解析】
（1）由f（0）=2，得b=1，
由f（x+1）=2f（x）-1，得ax（a-2）=0，
由ax＞0得a=2，
所以f（x）=2x+1．
（2）由题意知，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）=2x+1．
设点P（x，y）是函数h（x）的图象上任意一点，它关于直线y=x对称的点为P′（y，x），依题意点P′（y，x）应该在函数g（x）的图象上，即x=2y+1，
所以y=log2（x-1），即h（x）=log2（x-1）．
（3）由已知得y=log2（x-1）+2x+1，且两个函数的公共定义域是[，2]，
所以函数y=g（x）+h（x）=log2（x-1）+2x+1（x∈[，2]）．
由于函数g（x）=2x+1与h（x）=log2（x-1）在区间[，2]上均为增函数，
因此当x=时，y=2-1，
当x=2时，y=5，
所以函数y=g（x）+h（x）（x∈[，2]）的值域为[2-1，5]．