Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求PC与平面PAD所成角的大小；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的大小；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：CD⊥PA，CD⊥AD，所以CD⊥平面APD，可得PC与平面PAD所成角既为∠CPD，再利用解三角形的有关知识即可求出答案．
（Ⅱ）设CD中点为F，连接EF，则EF∥PC，可得AE与EF所成角即为所求，然后利用解三角形的有关知识得到答案．
（Ⅲ）假设BC边上存在一点G满足题设条件，作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，可得DQ=，进而得到BG=1，然后根据题意可得此点G符合题意．
【解析】
（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥PA，
又因为底面ABCD是矩形，
所以CD⊥AD，
所以由线面垂直的判定定理可得：CD⊥平面APD，
所以PC与平面PAD所成角既为∠CPD，…．（2分）
又由题意可得：PD=，CD=1
所以∠CPD=…．（2分）
（Ⅱ）设CD中点为F，连接EF，则EF∥PC
所以AE与EF所成角即为所求…．（1分）
又，
∴…（3分）
∴异面直线AE与PC所成角的大小为…．（1分）
（Ⅲ）假设BC边上存在一点G满足题设条件，作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，
所以DQ=…．（3分）
∴BG=1＜2，…．（1分）
故存在点G，当BG=1时，使点D到平面PAG的距离为1…．（1分）