Question

等差数列{a_n}的前n项和为．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n；
（Ⅱ）设，{b_n}中的部分项恰好组成等比数列，且k₁=1，k₄=63，求数列{k_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，求证：数列{c_n}中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．

Answer

（I）根据题目条件建立首项和公差的方程组，解之即可求出首项和公差，从而求出数列{an}的通项an与前n项和Sn；
（II）由（Ⅰ）得，bn=2n-1，再由已知得等比数列的公比，可建立kn的解析式；
（III）由（Ⅰ）得，假设数列中存在相邻三项cn，cn+1，cn+2（n∈N*）成等比数列，根据等比数列的性质建立等式关系，找出矛盾，从而可求证得数列{cn}中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．
【解析】
（Ⅰ）由已知得，∴d=2，…（3分）
故．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=2n-1，…（1分）
再由已知得，等比数列的公比，…（2分）
∴q=5…（2分）∴2kn-1=5n-1⇒∴…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．…（1分）
假设数列中存在相邻三项cn，cn+1，cn+2（n∈N*）成等比数列，
则cn+12=cncn+2，即．…（2分）
推出1=0矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．…（2分）