Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．

Answer

（1）设出P的坐标，则，和可表示出，根据整理求得P的轨迹方程．
（2）设出M，N的坐标，利用对称性可推断出P，Q的坐标，因为MNPQ是菱形，判断出MP⊥NQ，，即x1x2+y1y2=0，由直线与椭圆的方程联立消去y后，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用x1x2+y1y2=0，求得b．
【解析】
（1）设P（x，y），则，，，
因为，所以，
化简整理得点P的轨迹C的方程为．
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由C的对称性，得P（-x1，-y1）、Q（-x2，-y2），
因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，，即x1x2+y1y2=0，
由得7x2+8bx+（4b2-12）=0，，
，
检验知，此时，
所以．