Question

已知直线m，n与平面α，β，给出下列四个命题？
①若m∥α，n∥α，则m∥n
②若m∥α，n⊥α，则m⊥n
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

选项①可以用空间中直线的位置关系讨论；选项②可以用线面平行的性质结合线面垂直的定义进行讨论；选项③可以用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理进行判断；选项④可以用线线的位置关系结合面面平行的判定定理讨论．
【解析】
若m∥α，n∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面，所以①不正确
若m∥α，由线面平行的性质，能将m平移到α内的m′，由n⊥α知n⊥m′，所以m⊥n成立，故②正确．
若m∥β，由线面平行的性质，能将m平移到β内的m′，结合m⊥α，m∥m′得m′⊥α，
β经过的α垂线，从而α⊥β，故③正确．
对于④，若m，n是异面直线，可以将直线m平移到m′，使相交直线m′、n确定一个平面γ，由m′∥α，n∥α，
可得平面γ∥α，同理可得γ∥β，最后由平行于同一平面的两平面平行，得α∥β，故④正确
综上所述，正确选项有②③④，3个
故选C