Question

已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）最大值；
（2）对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），---------（1分）
∴-------------------（2分）
令f'（x）=0，即，解得或x=1．
∵x＞0，∴舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0．---（6分）
（2）法一：因为f（x）=lnx-a2x2+ax其定义域为（0，+∞），
所以
①当a=0时，，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意----------（8分）
②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即．
此时f（x）的单调递减区间为．
依题意，得解之得a≥1．-------------------（12分）
③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞（x＞0），即•
此时f（x）的单调递减区间为，
∴得（14分）
综上，实数a的取值范围是-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a2x2+ax，x∈（0，+∞）
∴
由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得-2a2x2+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①当a=0时，1≤0不合题意----------------------------------10
②当a≠0时，可得即
∴-----------14分
∴----------------------------------16分