Question

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先利用得M为AB的中点，把直线AB的方程与抛物线方程联立借助于判别式大于0求出实数p的取值范围；
（2）先利用圆过A、B、C三点求出圆心坐标和点C坐标之间的关系，再利用抛物线L在点C处切线与NC垂直求出点C的坐标即可．
【解析】
（1）设A，B两点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．
∵，查得M为AB的中点，即x1+x2=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x2=2py中，得x2-2pkx+4（k-1）p=0．
∴，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x2=4y上存在点（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵，∴
即解得．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴．
即．
将代入上式，得t3-2t2-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．