Question

已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer

先根据奇函数的性质得到f（0）=0，再由对称性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函数和关于直线x=1对称得到f（4）=f（-2）=0，同样得到当x为偶数时，f（x）=0；根据f（-1）=1和f（x）为奇函数得到f（1）=-f（-1）=-1，再由函数f（x）关于直线x=1对称得到f（3）=f（-1）=1，进而可得到当x为奇数时，f（x）=1或者-1交替出现，进而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
【解析】
根据奇函数性质，f（0）=0
∵f（x）关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）=0
再由奇函数性质，f（-2）=-f（2）=0
再由关于直线x=1对称性质，f（4）=f（-2）=0
∴f（-4）=-f（4）=0
∴f（6）=f（-4）=0
…
∴当x为偶数时，f（x）=0
由题意，f（-1）=1
根据奇函数性质，f（1）=-f（-1）=-1
根据关于直线x=1对称性质，f（3）=f（-1）=1
不难得出，当x为奇数时，f（x）=1或者-1，交替出现
最后出现的一个是f（2009），很明显f（2009）=-1，前面的2008个全部抵消掉了
故而最终结果就是-1
故选A．