Question

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（I）取BD的中点E，先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得A，C两点间的距离；
（II）欲证线面垂直：AC⊥平面BCD，转化为证明线线垂直：AC⊥BC，AC⊥CD，即可；
（III）欲求直线AC与平面ABD所成角，先结合（I）中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴（2分）
在△ACE中，
AC2=AE2+CE2-2AE•CE•cos∠AEC
=
∴AC=2（4分）

（Ⅱ）由，AC=BC=CD=2
∴AC2+BC2=AB2，AC2+CD2=AD2，
∴∠ACB=∠ACD=90°（6分）
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACEBD⊂平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD（10分）
平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）
∴．（14分）