Question

（Ⅰ）已知函数．数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，且，记数列{b_n}的前n项和为S_n，且．求数列{b_n}的通项公式；并判断b₄+b₆是否仍为数列{b_n}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{c_n}为首项是c₁，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c₁=md”．

Answer

（Ⅰ）由题意知，，所以．再由题设条件可以导出，由此可知b4+b6不在数列{bn}中．
（Ⅱ）先证充分性：若存在整数m≥-1，使c1=md．再证必要性：若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项，则cs=c1+（s-1）d，ct=c1+（t-1）d．
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以，
即，，
即．（4分）
因为，
当n=1时，，
当n≥2时，，
所以．（6分）
又因为，
所以令，
则；
得到与t∈N*矛盾，
所以b4+b6不在数列{bn}中．（8分）
（Ⅱ）充分性：若存在整数m≥-1，使c1=md．
设cr，ct为数列{cn}中不同的两项，
则cr+ct=c1+（r-1）d+c1+（t-1）d=c1+（r+m+t-2）d=c1+[（r+m+t-1）-1]d．
又r+t≥3且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
即cr+ct是数列{cn}的第r+m+t-1项．（11分）
必要性：若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项，
则cs=c1+（s-1）d，ct=c1+（t-1）d，
（s，t为互不相同的正整数）
则cs+ct=2c1+（s+t-2）d，令cs+ct=cl，
得到2c1+（s+t-2）d=c1+（l-1）d（n，t，s∈N*），
所以c1=（l-s-t+1）d，
令整数m=l-s-t+1，所以c1=md． （14分）
下证整数m≥-1
若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，
由题设取c1，ck使c1+ck=cr（r≥1）
即c1+c1+（k-1）d=c1+（r-1）d，
所以md+（-m-1）d=（r-1）d
即rd=0与r≥1，d≠0相矛盾，所以m≥-1．
综上，数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项的充要条件是存在整数m≥-1，使c1=md．（16分）