Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C且交AC于D，．
（I）证明：B₁C₁∥平面A₁BC；
（II）证明：A₁C⊥平面EDB；
（III）求平面A₁AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）．

Answer

（I）根据三棱柱的几何特征，可得B1C1∥BC，进而根据线面平行的判定定理得到B1C1∥平面A1BC；
（II）根据直三棱柱的几何特征，又由BC=A1B，E是等腰△A1BC底边A1C的中点，可得A1C⊥BE，结合线面垂直的判定定理可得A1C⊥平面EDB；
（III）设交点为E，连接EF，可确定出∠A1BE是所求的二面角的平面角，解A1BE可得平面A1AB与平面EDB所成的二面角的大小．
证明：（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1∥BC，（1分）
又BC⊂平面A1BC，且B1C1⊄平面A1BC，
∴B1C1∥平面A1BC（3分）
（II）∵三棱柱ABC-A1B1C1中A1A⊥AB，
∴Rt△A1AB中又
∴BC=A1B，
∴△A1BC是等腰三角形（6分）
∵E是等腰△A1BC底边A1C的中点，
∴A1C⊥BE①
又依条件知A1C⊥ED②
且ED∩BE=E③
由①，②，③得A1C⊥平面EDB（8分）
【解析】
（III）∵A1A、ED⊂平面A1AC，
且A1A、ED不平行，
故延长A1A，ED后必相交，
设交点为F，连接EF，如图
∴A1-BF-E是所求的二面角（10分）
依条件易证明Rt△A1EF≌Rt△A1AC∵E为A1C中点，
∴A为A1F中点∴AF=A1A=AB
∴∠A1BA=∠ABF=45°
∴∠A1FB=90°
即A1B⊥FB（12分）
又A1E⊥平面EFB，
∴EB⊥FB
∴∠A1BE是所求的二面角的平面角（13分）
∵E为等腰直角三角形A1BC底边中点，
∴∠A1BE=45°
故所求的二面角的大小为45°（14分）