Question

自点A（0，-1）向抛物线C：y=x²作切线AB，切点为B，且B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E、F直线AF AE分别交抛物线C于P、Q两点
（1）求切线AB的方程及切点B的坐标；
（2）证明=λ（λ∈R）．

Answer

（1）设出切线的方程，代入抛物线，利用判别式等于0求得k，则直线AB的方程可得，求得切点B的坐标．
（2）把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，要证=λ（λ∈R），只要PQ∥AB，证KPQ=KAB=2即可．根据KPQ=，APF三点共线推断出KAP=KAF，进而推断出好两直线平行且=λ．
【解析】
（1）设切线AB的方程为y=kx-1，
代入y=x2得x2-kx+1=0，由△=k2-4=0得k=2，AB的方程为y=2x-1，易得切点B（1，1）
（2）线段AB的中点M（，0），设过点M的直线l的方程为y=k（x-），与y=x2交于E（x1，x12），（x2，x22）
由得x2-kx+k=0，有x1+x2=k，x1x2=k
再设P（x3，x32），Q（x4，x42），要证=λ（λ∈R），只要PQ∥AB，证KPQ=KAB=2即可
由KPQ==x3+x4
∵APF三点共线，有KAP=KAF，∴=
x2x32+x2=x3x22+x3，∴（x2-x3）（x2x3-1）=0，又x2≠x3∴x2x3=1
同理由AEQ三点共线得x1x4=1
∴kPQ=x3+x4=+===2
所以PQ∥AB，有=λ（λ∈R）