Question

把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．
（Ⅰ）若a_mn=2005，求m，n的值；
（Ⅱ）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

Answer

（I）三角形数表中前m行共有1+2+3++m=个数，第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．由此入手能够求出m，n的值；
（II）f-1（x）=8nx3=y（x＞0），．故，第n行最后一个数是n2+n-1，且有n个数，若将n2+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故．由此入手能够求出数列{f（bn）}的前n项和Sn．
【解析】
（I）∵三角形数表中前m行共有1+2+3++m=个数，（1分）
∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．
故第m行最后一个数是2•+m-1（2分）
因此，使得amn=2005的m是不等式m2+m-1≥2005的最小正整数解．
由m2+m-1≥2005得m2+m-2006≥0（3分）
∴m≥=44∴m=45（4分）
于是，第45行第一个数是442+44-1+2=1981（5分）
∴n=+1=13（6分）
（II）∵f-1（x）=8nx3=y（x＞0），
∴．故（x＞0）（7分）
∵第n行最后一个数是n2+n-1，且有n个数，若将n2+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，
故bn=n（n2+n-1）+（9分）
∴（10分）
故Sn=
∵，（11分）
两式相减得：（12分）
=（13分）
∴（14分）