Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，．
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧视图的面积；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）在线段A₁C上是否存在一点P，使PC₁与平面A₁BC所成的角的正弦值为？如果存在，求出P点与C点的距离；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）由已知中AB=2，AC=AA1=4，．我们易求出OB的长，代入矩形面积公式，即可得到直三棱柱ABC-A1B1C1侧视图的面积；
（Ⅱ）根据（I）中结论，AB⊥BC结合线面垂直的性质，可得A1A⊥BC，由线面垂直的判定定理，得到A1A⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理即可得到平面A1BC⊥平面A1ABB1；
（Ⅲ）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量和直线PC1的方向向量（含参数λ），根据PC1与平面A1BC所成的角的正弦值为，求出λ值，进而代入点到平面的距离公式，求出答案．
【解析】
（Ⅰ）在平面ABC内，过B点作BO⊥AC，垂足为O．
△ABC中，由正弦定理得…（2分）
∴∠ABC=90°，则．
∴直三棱柱ABC-A1B1C1侧视图的面积为…（4分）
证明：（Ⅱ）∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥BC…（6分）
又A1A∩AB=A，
∴BC⊥平面A1ABB1
∵BC⊆平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面A1ABB1…（8分）
【解析】
（Ⅲ）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则，．
设，则…（10分）
设平面A1BC的法向量为
由即，令y=1得，
∴
，
∴或
则P点与C点的距离为或．             …（13分）