Question

如图，已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与圆交于M、N两点，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C₂相切．
（ⅰ）若直线l与抛物线C₁也相切，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l与抛物线C₁交与不同的A、B两点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，根据题意可得：OM与x轴正半轴成30°，根据半径得到点M的坐标再代入抛物线的方程进而得到P的值，即可求出抛物线的方程．
（Ⅱ）设l：y=kx+b，由题意可得：9b2=16（k2+1），
（ⅰ）设直线l与抛物线C1相切于点，利用导数解决相切问题，即可得到k，t，b的两个关系式，结合上面所求的关系式进而求出k与b的值，得到直线方程．
（ⅱ）由直线与抛物线相交可得b与k的一个关系式，结合结合上面所求的关系式求出b的范围，再结合韦达定理利用b表示出，进而求出其范围．
【解析】
（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，
因为∠MON=120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，
所以点M的坐标为，
即可将点M的坐标代入抛物线方程得，
解得p=1，
所以抛物线C1的方程为x2=2y…（3分）
（Ⅱ）设l：y=kx+b，即kx-y+b=0
因为l与圆C2相切，所以，即9b2=16（k2+1）---（1）…（5分）
（ⅰ）设直线l与抛物线C1：x2=2y即相切于点
因为函数的导数为y'=x，所以----（2）
由（1）（2）解得或
所以直线l的方程为或…（9分）
（ⅱ）联立直线l的方程与圆的方程，整理得x2-2kx-2b=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以x1+x2=2k，x1x2=-2b，
由△=4k2+8b＞0得k2+2b＞0----（3）
由（1）（3）可得，解得
所以
即的取值范围是…（13分）