Question

已知函数图象在x=1处的切线方程为2y-1=0．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，试探究与的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：（n∈N^*）．

Answer

（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值即可；
（Ⅱ） 先设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且x1＜x2＜x3y=f（x）-ln（x-1）=（x＞1）利用志数证明得函数在（1，+∞）上单调递增，由x1＜x2＜x3得y1＜y2＜y3，则=（x1-x2）（x3-x2）+（y1-y2）（y3-y2）＜0，则B是钝角，最后结合余弦定理和正弦定理得sin2A+sin2C＜sin2B．从而得到证明；
（Ⅲ）分两步进行证明：第一步，当n=1时不等式成立；第二步，当n＞1时，构造函数x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的减函数，将区间[1，n]（n＞1）n-1等分，由定积分定义及几何意义得到证明．
【解析】
（Ⅰ），由题意得，
则解得a=1，b=0…（2分）
由得f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，故f（x）的极小值=，f（x）的极大值=…（4分）
（Ⅱ） 证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且x1＜x2＜x3y=f（x）-ln（x-1）=（x＞1）y'=，函数在（1，+∞）上单调递增，由x1＜x2＜x3得y1＜y2＜y3…（6分）
则=（x1-x2）（x3-x2）+（y1-y2）（y3-y2）＜0，则B是钝角
由余弦定理得，即a2+c2＜b2，
由正弦定理得sin2A+sin2C＜sin2B．则＞＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函数，∴＞…（9分）
（Ⅲ） 证明：当n=1时不等式成立，…（10分）
当n＞1时，构造函数x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的减函数，
将区间[1，n]（n＞1）n-1等分，由定积分定义及几何意义得…（14分）