Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）利用数列的前n项和，推出数列的通项公式，即可证明数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）通过bn+1=an+bn（n=1，2，…），且b1=-3，写出数列n=2，3，4…n，的关系式，通过累加法，求出数列的通项公式，然后利用通项公式，直接求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）证：因为  Sn=3an-2（n=1，2，…），Sn-1=3an-1-2（n=2，3，…），
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3an-3an-1，整理得．
由Sn=3an-2，令n=1，得a1=3a1-2，解得a1=1．
所以{an}是首项为1，公比是的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
由bn+1=an+bn（n=1，2，…），
得bn+1-bn=an（n=1，2，…）．
所以
从而 ．
．…（13分）