Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）将a2=-1 代入an+1=（λ-3）an+2n，解关于的方程求出λ，继而求出a3．
（Ⅱ）先通过特殊方法，得到λ的可能值，再进一步结合等差数列，等比数列定义进行验证．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=2，a2=-1，a2=（λ-3）a1+2，（n=1，2，3…）∴，故，所以．
（Ⅱ）∵a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，∴a2=（λ-3）a1+2=2λ-4，a3=（λ-3）a2+4=2λ2-10λ+16，
若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，故不存在λ，使得数列{an}为等差数列．
若数列{an}为等比数列，则a1•a3=a22，即2（2λ2-10λ+16）=（2λ-4）2
解得：λ=4．∴an+1=an+2n将n-1个式子相加，an-a1=2+22+…+2n-1，∴（n≥2，n∈N）
又n=1，a1=2符合条件，∴an=2n（n∈N*）∴，故数列{an}为等比数列．通项公式为an=2n