Question

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f=xf（y）+yf（x）成立． 数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．则数列的通项公式a_n=    ．

Answer

可根据an=f（2n）再利用对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到递推关系式an+1=2an+2×2n然后两边同除以2n+1可构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了．
【解析】
由于an=f（2n）则an+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）
∴an+1=2an+2×2n
∴
∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列
∴
∴an=n2n