Question

已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，右准线与一条渐近线的交点坐标为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的直线l（不与x轴重合）与双曲线C交于M，N两点，且直线AM、AN分别交双曲线C的右准线于P、Q两点，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）双曲线C的右准线为，渐近线为．再由右准线与一条渐近线的交点坐标为，解得a2=4，b2=5，c2=9．由此能求出双曲线C的方程． 
（Ⅱ）由点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为．知当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为，则直线AM，AN方程分别为，．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），由得（4k2-5）x2-24k2x+36k2+20=0．由此入手也能推导出=．由此能够证明为定值．
（Ⅰ）【解析】
双曲线C的右准线为，渐近线为．
因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，
所以，
解得a2=4，b2=5，c2=9．
于是，双曲线C的方程为．            …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为．
当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为，
则直线AM，AN方程分别为，
令，得P，Q的坐标分别为，
此时．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），
由，
得（4k2-5）x2-24k2x+36k2+20=0．
因为直线l与双曲线C交于M，N两点，
所以4k2-5≠0，△=242k4-4（4k2-5）（36k2+20）=400（k2+1）＞0，
解得．
设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，
y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）．
则直线AM，AN方程分别为，
令，得P，Q的坐标分别为，
所以
=
=
=．
所以，为定值．                 …（13分）