Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 记数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足（n∈N^*，n≥2）．
设c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设（n∈N^*），证明d_n＜d_n+1．

Answer

（Ⅰ）因为点（Sn-1，Sn）（n∈N*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，所以（2t+3）Sn-1-3tSn+3t=0，由此能够证明{an}是等比数列． 
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知，从而，所以bn-bn-1=（n∈N*，n≥2）．由此能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，则．将用二项式定理展开，共有n+1项，=，同理，用二项式定理展开，第n+2项，由此能够证明dn＜dn+1．
【解析】
（Ⅰ）因为点（Sn-1，Sn）（n∈N*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，
所以（2t+3）Sn-1-3tSn+3t=0，
即有3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n∈N*，n≥2）．
当n=2时，3t（a1+a2）-（2t+3）a1=3t．
由a1=1，解得，
所以．
当n≥2时，有3tSn+1-（2t+3）Sn=3t①
3tSn-（2t+3）Sn-1=3t②
①-②，得 3tan+1-（2t+3）an=0，
整理得．
综上所述，知（n∈N*），
因此{an}是等比数列． …（5分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知，从而，
所以bn-bn-1=（n∈N*，n≥2）．
因此，{bn}是等差数列，并且．
所以，Tn=c1+c2+c3+…+cn
=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）
=
=．                       …（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，
则．
将用二项式定理展开，
共有n+1项，其第k+1项（0≤k≤n）为
=，
同理，用二项式定理展开，
共有n+2项，第n+2项为，
其前n+1项中的第k+1项（0≤k≤n）为，
由，
得Tk+1＜Uk+1，k=2，3，…，n，
又T1=U1，T2=U2，Un+2＞0，
∴dn＜dn+1．                        …（13分）