Question

已知函数f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：（n∈N^*）；
（Ⅲ）对于函数h（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数h（x）与g（x）的“分界线”．设函数，g（x）=elnx，h（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）因为f'（x）=ex-e，令f'（x）=ex-e＞0，解得x＞1，令f'（x）=ex-e＜0，解得x＜1，由此能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在x=1取得最小值，所以f（x）≥f（1），即ex≥ex，两端同时乘以得ex-1≥x，把x换成t+1得et≥t+1，当且仅当t=0时等号成立．由此能够证明（n∈N*）．
（Ⅲ）设．则．所以当时，F'（x）＜0；当时，F'（x）＞0．因此时F（x）取得最小值0，则h（x）与g（x）的图象在处有公共点．由此能够导出，．
（Ⅰ）【解析】
因为f'（x）=ex-e，
令f'（x）=ex-e＞0，解得x＞1，
令f'（x）=ex-e＜0，解得x＜1，
所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，（1，+∞）上递增，
所以f（x）的最小值为f（1）=0．                   …（3分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数f（x）在x=1取得最小值，
所以f（x）≥f（1），
即ex≥ex
两端同时乘以得ex-1≥x，
把x换成t+1得et≥t+1，
当且仅当t=0时等号成立．
由et≥t+1得，e1＞1+1=2，，
，
…
，．
将上式相乘得
．…（9分）
（Ⅲ）设．
则．
所以当时，F'（x）＜0；
当时，F'（x）＞0．
因此时F（x）取得最小值0，
则h（x）与g（x）的图象在处有公共点．
设h（x）与g（x）存在“分界线”，
方程为．
由在x∈R恒成立，
则在x∈R恒成立．
所以成立．
因此．
下面证明（x＞0）成立．
设，
．
所以当时，G'（x）＞0；
当时，G'（x）＜0．
因此时G（x）取得最大值0，
则（x＞0）成立．
所以，．…（14分）