Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

Answer

（Ⅰ）直接根据B1D1∥BD，以及B1D1在平面BC1D外，即可得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到BD⊥平面ACC1A1⇒A1O⊥BD；再通过求先线段的长度推出A1O⊥OC1，即可证明A1O⊥平面BC1D；
（Ⅲ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可．
【解析】
（Ⅰ） 证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分）
∴B1D1∥平面BC1D（3分）
（Ⅱ） 证明：连接OC1
∵BD⊥AC，AA1⊥BD
∴BD⊥平面ACC1A1（4分）
又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上
∴A1O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴
∴
∴Rt△AA1O中，（6分）
同理：OC1=2
∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1（7分）
∴A1O⊥平面BC1D（8分）
（Ⅲ）【解析】
∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积（10分）
=（12分）