Question

设函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）当a=b=时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer

（I ）先求定义域，再研究单调性，从而求最值．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以求解．
（III）先把程2mf（x）=x2有唯一实数解，转化为所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，再利用单调函数求解．
【解析】
（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当时，，
．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以f（x）的极大值为，此即为最大值．（4分）
（Ⅱ），
所以，在x∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以，x∈（0，3]（7分）
当x=1时，取得最大值．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则．
令g′（x）=0，得x2-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，
所以（舍去），，（10分）
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g′（x2）=0g（x），g（x2）取最小值g（x2）．（11分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则，即
所以2mlnx2+mx2-m=0，
因为m＞0，所以2lnx2+x2-1=0．（12分）
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因为h（I）=0，所以方程的解为（X2）=1，即，
解得（14分）