Question

某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究，得到如下四个命题：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切实数都成立；
③（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
④函数f（x）图象关于直线x=π对称．
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．.3
D．4

Answer

研究函数f（x）得单调性可知函数f（x）为奇函数，结合奇函数的对称区间上的单调性可判断（1）；根据y=cosx是有界函数可判断（2）；根据函数基本性质：对称性的应用可判断（3）（4）．
【解析】
因为f（x）=2xcosx
所以，f（-x）=-2xcos（-x）=-2xcosx=-f（x）
则函数f（x）是奇函数，在对称的区间上单调性相同，故（1）错误
（2）因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）正确
（3）因为f（π+x）+f（π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以点（π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故（3）错误
（4）因为f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，所以f（π+x）≠f（π-x），则函数y=f（x）图象不关于直线x=π对称，故（4）错误
故选A