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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中...

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点.
(1)求证:MN∥平面A1CD;
(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.

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(1)证法1:过MN构造一个平面,使其平行于平面A1CD,则可得MN∥平面A1CD; 证法2:根据直线与平面平行的判定定理可知,只要在平面A1CD里面找到一条直线与MN平行即可,因为M、N均为中点,所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”. (2)首先要作出这个截面,然后通过观察可知,截面将此长方体分成了一个三棱柱与一个四棱柱,接着求出各自的体积,再求出比值即可;或者进一步观察也能发现,这个三棱柱与四棱柱是等高的(因为在长方体中),所以我们其实只要求出它们的底面积的比值就可以了. (1)证法1:设点P(2)为AD(3)的中点,连接MP,NP(4). ∵点M是BC的中点, ∴MP∥CD. ∵CD⊂平面A1CD,MP⊄平面A1CD, ∴MP∥平面A1CD.(2分) ∵点N是AA1的中点, ∴NP∥A1D. ∵A1D⊂平面A1CD,NP⊄平面A1CD, ∴NP∥平面A1CD.(4分) ∵MP∩NP=P,MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP, ∴平面MNP∥平面A1CD. ∵MN⊂平面MNP, ∴MN∥平面A1CD.(6分) 证法2:连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P,连接A1P, ∵点M是BC的中点, ∴BM=MC. ∵∠BMA=∠CMP,∠MBA=∠MCP=90°, ∴RtMBA≌RtMCP.(2分) ∴AM=MP. ∵点N是AA1的中点, ∴MN∥A1P.(4分) ∵A1P⊂平面A1CD,MN⊄平面A1CD, ∴MN∥平面A1CD.(6分) (2)【解析】 取BB1的中点Q,连接NQ,CQ, ∵点N是AA1的中点, ∴NQ∥AB. ∵AB∥CD, ∴NQ∥CD. ∴过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1.(8分) ∴, ∴直三棱柱QBC-NAD的体积,(10分) ∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2, ∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积.(12分) ∴==. ∴所截成的两部分几何体的体积的比值为.(14分) (说明:也给分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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