Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接根据条件列出，解方程求出b，c即可得到椭圆C的方程；
（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标．
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意 …（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求椭圆方程为． （5分）
（2）设P点坐标为（x，y），
依题意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP为矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP为正方形，则有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|= 有2=
两边平方得x2+y2=8…①（9分）
又因为P（x，y）在椭圆上，所以4x2+9y2=36…②
①，②联立解得， （11分）
所以满足条件的有以下四组解
，，，．
所以，椭圆C上存在四个点（），（，-），（-，），（-，-），
分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．（14分）