Question

设函数f（x）=，给定数列{a_n}，其中a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若{a_n}为常数数列，求a的值；
（2）当a≠0时，探究{+2}能否是等比数列？若是，求出{a_n}的通项公式；若不是，说明理由；
（3）设b_n=3na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当a=1时，求证：S_n＞4-（n+2）（）^n-1．

Answer

（1）由于a1=a，{an}为常数数列，得知a=f（a），将其代入f（x）=，从而求出a的值；
（2）根据an+1=f（an）取倒数化简得，再考虑首项是否为0分类讨论，它是否是等比数列．
（3）根据（2）得a=1时，它是等比数列，从而求出an的通项公式，并放缩，得，
∴，令右式=Tn，再用错位相减法化简右式得Tn=，从而得证．
【解析】
（1）若{an}为常数数列，则an=a，由an+1=f（an），得a=f（a），（1分）
f（x）=，∴，即a=2a（a+1）解得：a=0或．
（2）∵f（x）=，∴an+1=f（an）=，
当a1=a≠0时，an≠0，
∴，
∴，
∴+2=+2，…（6分）
∴①当a=-时，由（1）知，∴不是等比数列．…（7分）
②当时，，∴是以2为公比，以为首项的等比数列，…（8分）
∴，∴     …（9分）
（3）当a=1时，，…（10分）
∴
∴…（11分）
设①
则，②
由①-②得：
=
∴，（13分），
所以…（14分）