Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数．函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）讨论关于x的方程=x²-2ex+m的根的个数．
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，可得出f（x）+f（-x）=0，由此方程恒成立求a．构造两个函数f1（x）=，f2（x）=x2-2ex+m，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题进行研究．
（2）由题意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函数的单调性转化为：g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，进而得到λ≤-1，并且g（x）max=-λ-sin1，再转化为-λ-sin1＜t2+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．把λ看为自变量利用一次函数的性质解决问题即可得到答案．
【解析】
（1）∵f（x）=ln（ex+a）是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0即ln（ex+a）+ln（e-x+a）=0，即（ex+a）（e-x+a）=1，整理得a（e-x+ex+a）=0恒成立，故a=0 （1分）    
又f（x）=x，由=x2-2ex+m得，
令f1（x）=，f2（x）=x2-2ex+m…（2分）
则f1′（x）=，当x∈（0，e）时f1′（x）＞0，f1（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，∴当x=e时，f1（x）的最小值为f1（e）=
而f2（x）=x2-2ex+m=（x-e）2-e2+m，结合f1（x）与f2（x）的大致图象可得
当-e2+m＞即 m＞e2+时，方程无实根；当-e2+m=即 m=e2+时，方程有一个实根；当-e2+m＜即 m＜e2+时，方程有两个实根；
（2）由题意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函数的单调性转化为：g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，进而得到λ≤-1，g（x）max=-λ-sin1，再转化为-λ-sin1＜t2+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．∴（t+1）λ+t2+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1，（λ≤-1）
则，∴，而t＜-1时，t2-t+sin1＞0恒成立，
经检验t=-1也对，∴t≤-1