已知椭圆的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程...

已知椭圆

的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

（1）由题意知解得b，c，从而a=2．最后写出椭圆方程；（2）可设直线AM的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求出P点的横坐标x1，再利用向量垂直即可求得C点的横坐标x，从而解决问题．【解析】（1）由题意知解得b=c=，从而a=2． ∴椭圆方程为（4分）（2）A（-2，0），B（2，0），可设直线AM的方程为y=k（x+2），P（x1，y1），MB⊥AB，∴M（2，4k），直线AM代入椭圆方程x2+2y2=4，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0（6分） ∴， ∴x1=， ∴P（，），设C（x，0），且x≠-2，以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，则 MC⊥BP，∴=0，即：（2-x）+4k=， ∴x=0，故存在异于点A的定点C（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点．

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考点分析：

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