已知矩形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上...

已知矩形ABCD中， manfen5.com 满分网

，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．
（1）求证：DA⊥平面ABC；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）求二面角G-FC-E的大小．

（1）根据DA⊥AB，平面ACD经过平面BCD的垂线，根据面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面BCD，从而得到BC⊥平面ACD ，则BC⊥DA，AB∩BC=B，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）设求点C到平面ABD的距离为d，由（1）结论可知DA⊥平面ABC，则DA是三棱锥D-ABC的高，根据VC-ABD=VD-ABC建立等式关系，解之即可求出所求；（3）先证平面ABD⊥平面FGC，在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H，作HK⊥FC，垂足为K，连接EK，故EK⊥FC，从而∠EKH为二面角E-FC-G的平面角，在Rt△FEC中求出此角即可．【解析】（1）证明：依条件可知DA⊥AB① ∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线 ∴平面ACD⊥平面BCD 又依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD ∵DA⊂平面ACD∴BC⊥DA②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC …4分（2）【解析】设求点C到平面ABD的距离为d，于是VC-ABD=VD-ABC 由（1）结论可知DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高 ∴由VC-ABD=VD-ABC，得，解得即点C到平面ABD的距离为…8分（3）【解析】由（I）结论可知DA⊥平面ABC，∵AC、CG⊂平面ABC ∴DA⊥AC①DA⊥CG② 由①得△ADC为直角三角形，易求出AC=1 于是△ABC中AC=BC=1 ∵G是等腰△ABC底边AB的中点，∴CG⊥AB③∵AB∩DA=A④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD ∵CG⊂平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC 在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H∴EH⊥平面FGC 作HK⊥FC，垂足为K，连接EK，故EK⊥FC ∴∠EKH为二面角E-FC-G的平面角 …10分设Rt△ABD边BD上的高为h，容易求出，∴ 在△EFC中，容易求出三边长满足FC2=FE2+EC2，∴∠FEC=90° 于是在Rt△FEC中容易求出，∴…12分于是二面角E-FC-G的大小为…13分

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考点分析：

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